Pembuktian persamaan pada getaran harmonic

1. Buktikan bahwa dari persamaan :


diperoleh menjadi persamaan berikut :

Pada getaran harmonic sederhana dapat digambarkan sebagai berikut :

Dari gambar di atas maka diperoleh gaya pemulih
 , bernilai negtif karena arah gayanya selalu berlawanan dengan gaya pemulih.
Ingat bahwa dalam hukum Newton II berlaku  F = m.a , dimana   dan  s = l.θ 
Sehingga dapat dituliskan :
  


               


 
 dapat dinyatakan dalam bentuk deret pangkat ( deret Maclaurin) :

Dengan nilai sin θ dapat diganti dengan θ, sehingga persamaannya menjadi
 

2. Buktikan bahwa dari persamaan :

Diperoleh persamaan :

Dengan menganggap sudut yang digunakan cuup kecil, maka akan berlaku sinθ» θ  dan berlaku percepatan berbanding lurus dengan simpangan . sehingga gerak bandul mendekati gerak harmonic sederhana. Maka persamaan yang di atas dapat ditulis :

Sehingga persamaan umum θ diperoleh :
  = A sin ωt + B cos ωt
Jika pada keadaan awal (t=0), θ(0), dan v = v(0) = , maka pada t=0 menghasilkan .
Jika θ (t) dideferensialkan dari  , maka A cos ωt – ω B sin ωt
Jika t=0, θ(0) = ωA
Karena gerak melingkar maka  a = αR , sehingga l. θ(0)= =l.ωA
A=
Oleh karena itu persamaan θ menjadi
θ= 


3. Carilah Amplitudo dari persamaan berikut ini :

Amplitude dari persamaan di atas yaitu :
A= 
 





Sehingga  A= 

4. Buktikan bahwa untuk getaran harmonik teredam energinya meluruh sebanding dengan  . Dan Jelaskan juga bahwa hukum kekekalan energi tetap berlaku!

Total energi osilasi dapat dihitung dengan menjumlahkan energy potensial dan energy kinettik sehigga :

Persamaan diatas diturunkan terhadap t, maka diperoleh

                   (a)       

Persamaan osilasi teredam dapat ditulis kembali menjadi

                     

                                                                                                         (b)                                                                         

Dengan mensubstitusikan persamaan (b) ke  persamaan (a), sehingga diperoleh persamaan (c) :

                                                                                           (c)      

Persamaan (c) menyatakan energi yang hilang karena adanya gaya redaman (dissipasi) tiap satuan waktu sebanding dengan kuadrat kecepatannya

Jika t=0, maka

Dengan  adalah tetapan-tetapan yang ditentukan pada keadaan awal. Untuk t , maka tetapannya  sehingga

Jadi dapat disimpulkan bahwa:

E=

5. Sebuah sistem pegas – massa tersusun seperti Gambar berikut

Pada Gambar di atas, benda dengan massa 2 kg dihubungkan dengan pegas dengan gaya pegas 10 x N, redaman dengan faktor redaman 2 v dan gaya pemaksa 20 sin 20pt. Cari persamaan ayunan pegas jika kedudukan awalnya terletak pada titik setimbangnya.

Persamaan dapat dicari dengan :

Seingga diperoleh persamaan ayunan pegasnya seperti di atas.