Statistik Fermi-Dirac

Statistik Fermi-Dirac merupakan kasus tertentu dalam statistik partikel yang dikembangkan oleh Enrico Fermi dan Paul Dirac dalam menentukan distribusi statistik keadaan energi fermion dari sistem kesetimbangan termal. Dengan kata lain distribusi peluang tiap kemungkinan level-level energi yang diduduki oleh suatu fermion.

Pada umumnya, statistik Fermi-Dirac membahas tentang fungsi gelombang dari fermion yang antisimetris di bawah pengaruh pertukaran fermion. Fermion merupakan partikel yang tak dapat dibedakan dan mengikuti asas larangan Pauli: tidak boleh suatu partikel mepunyai bilangan kuantum yang sama dalam waktu yang sama. Fermion mempunyai spin setengah. Statistik thermodinamika digunakan untuk mendeskripsikan perilaku partikel dalam jumlah besar.

Kumpulan dari fermion tanpa interaksi disebut dengan gas fermi. Statistik Fermi-Dirac diperkenalkan pada tahun 1926 oleh Enrico Fermi dan Paul Dirac yang diaplikasikan pada tahun yang sama oleh Ralph Fawler dalam menggambarkan kehancuran bintang kerdil putih. Dan pada tahun 1927 oleh Arnold Sommerfeld digunakan untuk menggambarkan elektron dalam logam.

Hukum distribusi statistik Fermi-Dirac

Elektron bebas mempunyai spin s=1/2, sehingga bilangan kuantum magnetiknya ms = ±1/2; dalam keadaan tidak ada medan magnet elektron memiliki 2 keadaan yang berenergi sama (degenerate). Jadi gi=2. Elektron dalam atom memiliki fungsi keadaan yang ditandai dengan bilangan-bilangan kuantum: n, l, ml , s, ms.

Untuk suatu harga ℓ ada (2ℓ +1) buah harga m ℓ ; sedangkan dengan s = 1/2, ada dua harga ms = 1/2, -1/2. Jadi, tanpa medan magnet, ada 2(2 ℓ +1) buah keadaan yang degenerate. Jadi gi = 2(2 ℓ +1). Berdasarkan prinsip Pauli, untuk suatu pasangan n, l, ml , s, ms hanya bisa ditempati oleh satu elektron. Jadi ni  ≤  gi.

Jika tingkat energi, Ei, akan diisi dengan ni buah elektron, maka dengan degenerasi gi, jumlah cara mengisikan partikel adalah: gi(gi-1) (gi-2)…….. (gi-ni+1).

Energi eφ adalah energi minimum yang diperlukan untuk melepaskan sebuah elektron dari logam. Dalam kasus efek fotolistrik, elektron dilepaskan jika foton hν≥eφ. Besaran φadalah potensial yang disebut fungsi kerja dari logam. Pada suhu tinggi, beberapa elektron menempati keadaan di atas energi EF (lihat gambar (b)). Pada suhu yang cukup tinggi beberapa elektron memperoleh energi sebesar E=EF+eφ sehingga lepas dari logam. Proses ini disebut emisi termionik, dan merupakan dasar bagi tabung elektron.

Energi Fermi yaitu tingkat energi tertinggi yang terisi pada suhu 0 K disebut tingkat Fermi atau energi Fermi. Pada suhu diatas 0 K, elektron-elektron mendapat tambahan energi sehingga sejumlah elektron yang semula berada di bawah namun dekat dengan energi Fermi naik ke atas dan meninggalkan beberapa tingkat energi kosong yang semula ditempatinya.

Kriteria Distribusi Fermi :

Ø  Memiliki dua jenis spin yaitu spin Up dan spin Down.

Ø  Memenuhi prinsip pauli.

Ø  Merupakan sebuah asamble dan sejumlah besar fermion.

Ø  Tekanan gasnya pada suhu nol.

Ø  Gas Fermi membentuk atom helium isotop  pada tekanan standard an juga electron gas dan alkali, metal, litium dan potassium.

Ø  Dapat dilakukan untuk system periodic.

Ø  Partikelnya termasuk fermion.

Ø  Tekanan gasnya pada suhu nol.

 

Pendekatan Statistik Pada Fisika Kuantum

Pada temperatur di atas 0 K, elektron-elektron mendapat tambahan energi sehingga sejumlah elektron yang semula berada di bawah namun dekat dengan energi Fermi naik ke atas dan meninggalkan beberapa tingkat energi kosong yang semula ditempatinya. Perhitungan distribusi elektron pada temperatur di atas 0 K dilakukan dengan pendekatan statistik.

Pada 0 K, semua tingkat energi sampai dengan tingkat energi Fermi terisi penuh sedangkan tingkat energi di atas energi Fermi kosong. Suatu fungsi f(E,T), yang berlaku untuk seluruh nilai energi dan temperatur baik di bawah maupun di atas 0 K, dapat didefinisikan sedemikian rupa sehingga memberikan nilai 1 dan untuk E < EF, dan memberikan nilai 0 untuk E > EF. Artinya pada T = 0 K tingkat energi di bawah EF pasti terisi sedangkan tingkat energi di atas EF pasti kosong. Energi E dalam fungsi tersebut terkait dengan energi elektron dalam sumur potensial dan oleh karena itu prinsip ketidak-pastian Heisenberg serta prinsip eksklusi Pauli harus diperhitungkan. Pembatasan-pembatasan pada sifat elektron seperti ini tidak terdapat pada pendekatan klasik, yang memandang partikel-partikel dapat diidentifikasi, posisi dan energi partikel dapat ditentukan dengan pasti, dan tidak ada pembatasan mengenai jumlah partikel yang boleh berada pada tingkat energi tertentu. Statistik kuantum yang diaplikasikan untuk metal adalah statistik Fermi-Dirac.

Latihan Soal Usaha dan Energi

1.      Sebuah benda 4 kg dilemparkan dari permukaan tanah sampai ketinggian 10 m. Berapa energi potensial benda pada ketinggian 10 m dan berapa usaha yang diperlukan ?

2.      Suatu bola dengan massa 2 kg berada di atas meja dengan ketinggian 4 m. Bola didorong hingga kecepatan pada saat lepas dari meja 2 m/s. Tentukan besarnya energi kinetik bola saat ketinggiannya 2 m !

3.      Sebuah pesawat terbang bergerak dengan kecepatan 40 m/s pada ketinggin 100 m di atas tanah. Pesawat tersebut menjatuhkan bom, berapa kecepatan bom pada saat menyentuh tanah ?

4.      Sebuah balok bermassa 10 kg didorong dari dasar suatu bidang miring yang panjangnya 5 m dan puncak bidang miring berada 3 m dari tanah. Jika bidang miring dianggap licin, tentukan usaha untuk mendorong balok agar sampai di puncak bidang miring!

5.      Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 36 km/jam. Setelah 10 sekon, kecepatannya bertambah menjadi 72 km/jam. Jika massa mobil 15 ton, hitunglah usaha yang dilakukan mobil tersebut !

Latihan Soal Gerak Melingkar

1.        Sebuah roda berputar sebanyak 20 kali dalam waktu 10 sekon. Berapakah:

a.       Frekuensinya

b.      Periodenya

2.        Sebuah partikel berputar dengan 5 putaran tiap sekon. Jika jari-jari lintasan 3 m, berapakah kecepatan sudut & kecepatan liniernya?

3.        Dua buah roda yang seporos memiliki jari-jari 2 cm dan 4 cm. Kecepatan linier roda kecil 6 m/s. Berapakah kecepatan linier roda besar?

4.        Sebuah piringan berputar dengan kecepatan 4π rad/s. Bila jari-jari piringan 0,5 m. Tentukan percepatan sentripetal piringan tersebut!

5.        Sebuah baling-baling awalnya diam, kemudian berputar dengan kecepatan 30 rad/s dalam waktu 5 sekon. Tentukan percepatan sudut baling-baling tersebut!

6. Sebuah roda berputar sebanyak 30 kali dalam waktu 5 sekon. Berapakah:

a.       Frekuensinya

b.      Periodenya

7. Sebuah partikel berputar dengan 4 putaran tiap sekon. Jika jari-jari lintasan 2 m, berapakah kecepatan sudut & kecepatan liniernya?

8. Dua buah roda yang bersinggungan memiliki jari-jari 3 cm dan 5 cm. Kecepatan sudut roda kecil 10 rad/s. Berapakah kecepatan sudut roda besar?

9. Sebuah piringan berputar dengan kecepatan 10π rad/s. Bila jari-jari piringan 0,25 m. Tentukan percepatan sentripetal piringan tersebut!

10.  Sebuah baling-baling awalnya diam, kemudian berputar dengan kecepatan 15 rad/s dalam waktu 3 sekon. Tentukan percepatan sudut baling-baling tersebut!